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Archive journalière du 27 avr 2007

Réponse au carré

Pour ceux qui n’auraient pas suivi la discussion sur le sujet ni constaté de visu l’impressionant génie mathématique de Tschok, ceci est une réponse au paradoxe évoqué dans l’article « Carré-ment », publié le 24 avril.

1) Un peu d’histoire

Ce problème, connu sous le nom de « Paradoxe de Galilée », a tenu en alerte plusieurs générations de mathématiciens, de philosophes et de théologiens sur la question de l’infini.

La discussion n’a en fait jamais cessé depuis qu’Archimède, au troisième siècle avant J.C, tenta de compter les grains de sable sur les plages de Grèce. S’apercevant rapidement qu’il n’était pas au bout de ses peines, il en conclut (assez brillamment, mais avec une once de paresse intellectuelle dans la tête quand même) que la suite des nombres n’a pas de fin et peut donc être prolongée « ad infinitum ». Zénon fit un constat équivalent en exprimant son célèbre paradoxe du lièvre et de la tortue qui rend tout mouvement impossible dès lors que l’on constate que le lièvre et la tortue doivent, avant d’atteindre leur but, parcourir la moitié de la distance à parcourir, et avant cela, la moitié de la moitié, et ainsi de suite, « ad infinitum ».

A chaque fois que l’on essaye de compter sans fin, on butte sur le fait que l’infini ne peut être déterminé et qu’il n’existe pas « en soi ». Les grecs avaient en fait deux difficultés lorsqu’ils tentaient de concevoir l’infini : d’une part l’axiome d’Euclide, qui énonce que le tout doit être plus grand qu’une de ces parties, et d’autre part le fait qu’il ne pouvait pour eux exister plusieurs infinis, certains plus petits que d’autres.

L’axiome d’Euclide est en fait insuffisant pour décrire les états de l’infini dès lors que l’on considère que l’infini divisé par deux, ça donne l’infini, tout comme l’infini multiplié par 17 ou l’infini au carré (tiens, le carré…). On peut donc parfaitement concevoir des morceaux d’infinis de taille non finie ainsi que des morceaux d’infini infinis … et plus grands que d’autres…

Faisons une parenthèse avec l’hypoténuse du triangle rectangle que l’on sait depuis Pythagore plus grande que les côtés du triangle, dans un rapport au carré (tiens, encore lui …). Chaque point de l’hypoténuse peut être reporté en abscisse et ordonné sur chacun des côtés et l’on peut en conclure qu’il y a « autant » de points sur l’hypoténuse que sur l’un quelconque des côtés, et que l’hypoténuse est égale à chacun des côtés (et que les deux côtés sont égaux !!!). Ce qui est bien évidemment absurde si l’on ne considère pas qu’il existe un nombre infini de points sur l’hypoténuse.

C’est tout le génie de Tschok d’avoir senti ceci, lorsque, incompris par lui-même, il énonce dans son commentaire 57, « Si on prend une chaîne numérique où il y a des ronds et des carrés (des réels et des carrés), on peut, sur un segment de cette chaîne, décider qu’il y a plus de ronds que de carrés. Peut-être sur un segment. Mais à l’infini ? ».

Gai-Luron saurait sans aucun doute mieux que moi vous conter les merveilles de « l’infini potentiel » et de « l’infini en acte » chez Leibniz ou les notions de « vrais infinis » et de « faux infinis » décrits par Spinoza, notions qui n’ont d’ailleurs pas vraiment leur place dans l’objet de cette réponse. Je ne m’étendrais pas non plus sur tous les débats sur le sujet auxquels ont participé des savants et des philosophes tels qu’Epicure, Al Kindi, Avicenne ou bien Proclus.

C’est chez un mathématicien moderne, répondant au doux nom de Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781-1848), que je trouve une partie de la réponse qui m’intéresse ici : Pour Bolzano, un infiniment grand est tout simplement ce qui est plus grand qu’un nombre quelconque d’unités. Mieux, du point de vue de l’hypoténuse dont nous parlions plus haut, hypoténuse et côtés représentent deux manifestations du MÊME infini et ce que certains considèrent comme un paradoxe est en fait, pour Bolzano, la définition même de l’infini (1).

Le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) viendra résoudre une partie des questions que soulevait l’approche de Bolzano (dont je vous ferai grâce) et compléter le dispositif de réflexion sur le sujet en démontrant que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable et que l’ensemble des points d’un carré est « équipotent » à l’ensemble des points de ses côtés.

2) La réponse

La réponse (partielle) au paradoxe de Galilée est que le nombre des carrés et le nombre des réels sont tout les deux infinis. Dans les deux cas, les infinis en question ne sont pas « dénombrables » et l’on peut en déduire qu’ils sont « potentiellement » égaux.

Pour plagier George Orwell, donc : « Tous les infinis sont égaux, mais il y en a de plus égaux que d’autres » (2). C’est là que réside le paradoxe.

(1) B. Bolzano : Les paradoxes de l’infini – Seuil 1993
(2) G. Orwell : La ferme des animaux – Gallimard 1984




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