Réponse au carré

Pour ceux qui n’auraient pas suivi la discussion sur le sujet ni constaté de visu l’impressionant génie mathématique de Tschok, ceci est une réponse au paradoxe évoqué dans l’article « Carré-ment », publié le 24 avril.

1) Un peu d’histoire

Ce problème, connu sous le nom de « Paradoxe de Galilée », a tenu en alerte plusieurs générations de mathématiciens, de philosophes et de théologiens sur la question de l’infini.

La discussion n’a en fait jamais cessé depuis qu’Archimède, au troisième siècle avant J.C, tenta de compter les grains de sable sur les plages de Grèce. S’apercevant rapidement qu’il n’était pas au bout de ses peines, il en conclut (assez brillamment, mais avec une once de paresse intellectuelle dans la tête quand même) que la suite des nombres n’a pas de fin et peut donc être prolongée « ad infinitum ». Zénon fit un constat équivalent en exprimant son célèbre paradoxe du lièvre et de la tortue qui rend tout mouvement impossible dès lors que l’on constate que le lièvre et la tortue doivent, avant d’atteindre leur but, parcourir la moitié de la distance à parcourir, et avant cela, la moitié de la moitié, et ainsi de suite, « ad infinitum ».

A chaque fois que l’on essaye de compter sans fin, on butte sur le fait que l’infini ne peut être déterminé et qu’il n’existe pas « en soi ». Les grecs avaient en fait deux difficultés lorsqu’ils tentaient de concevoir l’infini : d’une part l’axiome d’Euclide, qui énonce que le tout doit être plus grand qu’une de ces parties, et d’autre part le fait qu’il ne pouvait pour eux exister plusieurs infinis, certains plus petits que d’autres.

L’axiome d’Euclide est en fait insuffisant pour décrire les états de l’infini dès lors que l’on considère que l’infini divisé par deux, ça donne l’infini, tout comme l’infini multiplié par 17 ou l’infini au carré (tiens, le carré…). On peut donc parfaitement concevoir des morceaux d’infinis de taille non finie ainsi que des morceaux d’infini infinis … et plus grands que d’autres…

Faisons une parenthèse avec l’hypoténuse du triangle rectangle que l’on sait depuis Pythagore plus grande que les côtés du triangle, dans un rapport au carré (tiens, encore lui …). Chaque point de l’hypoténuse peut être reporté en abscisse et ordonné sur chacun des côtés et l’on peut en conclure qu’il y a « autant » de points sur l’hypoténuse que sur l’un quelconque des côtés, et que l’hypoténuse est égale à chacun des côtés (et que les deux côtés sont égaux !!!). Ce qui est bien évidemment absurde si l’on ne considère pas qu’il existe un nombre infini de points sur l’hypoténuse.

C’est tout le génie de Tschok d’avoir senti ceci, lorsque, incompris par lui-même, il énonce dans son commentaire 57, « Si on prend une chaîne numérique où il y a des ronds et des carrés (des réels et des carrés), on peut, sur un segment de cette chaîne, décider qu’il y a plus de ronds que de carrés. Peut-être sur un segment. Mais à l’infini ? ».

Gai-Luron saurait sans aucun doute mieux que moi vous conter les merveilles de « l’infini potentiel » et de « l’infini en acte » chez Leibniz ou les notions de « vrais infinis » et de « faux infinis » décrits par Spinoza, notions qui n’ont d’ailleurs pas vraiment leur place dans l’objet de cette réponse. Je ne m’étendrais pas non plus sur tous les débats sur le sujet auxquels ont participé des savants et des philosophes tels qu’Epicure, Al Kindi, Avicenne ou bien Proclus.

C’est chez un mathématicien moderne, répondant au doux nom de Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781-1848), que je trouve une partie de la réponse qui m’intéresse ici : Pour Bolzano, un infiniment grand est tout simplement ce qui est plus grand qu’un nombre quelconque d’unités. Mieux, du point de vue de l’hypoténuse dont nous parlions plus haut, hypoténuse et côtés représentent deux manifestations du MÊME infini et ce que certains considèrent comme un paradoxe est en fait, pour Bolzano, la définition même de l’infini (1).

Le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) viendra résoudre une partie des questions que soulevait l’approche de Bolzano (dont je vous ferai grâce) et compléter le dispositif de réflexion sur le sujet en démontrant que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable et que l’ensemble des points d’un carré est « équipotent » à l’ensemble des points de ses côtés.

2) La réponse

La réponse (partielle) au paradoxe de Galilée est que le nombre des carrés et le nombre des réels sont tout les deux infinis. Dans les deux cas, les infinis en question ne sont pas « dénombrables » et l’on peut en déduire qu’ils sont « potentiellement » égaux.

Pour plagier George Orwell, donc : « Tous les infinis sont égaux, mais il y en a de plus égaux que d’autres » (2). C’est là que réside le paradoxe.

(1) B. Bolzano : Les paradoxes de l’infini – Seuil 1993
(2) G. Orwell : La ferme des animaux – Gallimard 1984

64 Réponses à “Réponse au carré”


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  • Tous,

    Panique hier soir : je rentre tard, je me mets à finir de rédiger cet article et pouf, plus rien ! Mac out, plus d’internet, la vie qui retourne à l’âge de glace ou même avant. Désolé donc pour ce retard et merci à certains d’être venus cliquer comme des bêtes pour avoir enfin la réponse à un problème fondamental.

    Mais si, mais si, c’est fondamental : la notion d’infini et d’éternel est au coeur de certaines notions hautement philosophiques et théologiques et je me réserve donc le droit de donner une suite à cet article (quand j’en aurai l’inspiration) en abordant le sujet de l’hypoténuse sur un angle strictement théologique.

    De quoi nous écarter encore un peu plus des affres de la politique…

  • Wow!

    Ben merci.

    J’en reviens pas d’avoir trouvé tout ça, didon.

    En fait j’en ai trouvé qu’une toute petite partie, de l’infini. D’après ce que je comprends…

  • on a failli attendre mais ça en valait la peine ! merci Halio, on finira par être cultivés…

  • Tschok,

    Et oui, on se découvre parfois des talents qu’on ne soupçonnait pas quand on se met à masturber quelques neurones. Encore bravo !

  • Raph,

    En fait, je réalise que ce post est un peu chiant pour qui n’a pas ma passion de le philosophie des mathématiques. Mais j’avais vraiment besoin de mettre par écrit les quelques réflexions initiales d’une question qui me tient à coeur et je vous ai donc utilisé comme cobayes. Un peu comme tu le fais en ce moment avec Anne Charlotte (qui me fais vraiment craquer !).

    Merci, donc, de m’avoir lu.

  • Tous,

    Gros problèmes informatiques depuis hier. Excusez donc le pauvre Halio de ne pas être plus réactif sur vos commentaires en ce moment et de ne pas venir chez vous plus souvent.

    Bon week end à tous ! Sauf à Camille, qui doit bosser parait-il …

  • Halio,
    en fait j’ai bien aimé cette histoire d’énigme que personne n’arrive à résoudre définitivement. c’est vrai que j’ai parfois du mal à lire de longs articles sur internet (je préfère le papier…) mais comme je n’aime pas ne pas savoir la fin de l’histoire (et puis ne pas comprendre pourquoi je me suis trompée) je suis revenue une deuxième fois pour lire la fin. bon, c’est vrai que je ne lirais p-e pas des articles comme ça tous les jours mais une fois de temps en temps j’aime bien.
    j’espère que tes pbs informatiques ne vont pas trop durer. sois certain que je compatis : mon pc m’a fait sa crise d’ado hier alors que j’avais un cd à graver en urgence… c’est très chiant ! a bientôt quand même !

  • Hello Halio (ou Halio, Hello !)

    c’est très intéressant et très clair ce petit post ; en fait ce pauvre Leibniz s’état lui-même vautré dans ce drame puisqu’il avait déduit de la somme infinie de termes l’infini lui-même, ce qui revient à raisonner comme Zénon. Tschok par-delà Leibniz ! Je reste admiratif. (‘enfin bon, la mode est au mépris du Leibniz mathématicien hélas)

  • Gai-Lulu,

    Le hasard fait bien les choses : une courte connection à Internet me permet de te lire et de savoir que tu es de retour. Je n’aurai pas le temps de venir vérifier les douceurs que tu n’as certainement pas manqué de nous offrir sur ton blog, mais j’aurai au moins le temps de compatir avec toi sur le triste sort de Leibniz, trop souvent rejeté en tant que mathématicien (alors que ces travaux ont souvent servi de base à des recherches fort intéressantes).

    J’espère avoir résolu mes problèmes informatiques demain. Inch Allah fil mishmish …

  • Tiens, c’est marrant, les filles sont pratiquement absentes de cette discussion hautement mathématique (à part Raph, bien sûr).

    J’y vois deux raisons possibles :

    1. Je ne sais vraiment pas parler aux femmes,
    2. Gai-Luron est revenu.

    Elise va encore dire que je suis jaloux !

  • coucou

    si je suis là, mais comme je suis une femme, quand les hommes parlent, je me tais.

    (… ou comment se laisser influencer par l’histoire de la famille au XVIIe siècle).

    et pi moi, j’aime que Pascal.

  • Halio,
    j’en vois une troisième : tu abordes un sujet minéral alors que l’esprit féminin est essentiellement végétal. ou si tu préfères tu parles de carré et de logique mathématique alors que la logique féminine est ronde et intuitive… bref, j’attends avec impatience l’histoire de l’hypothénuse. dois-je aller attendre chez gai-luron ?
    Camille,
    comme cette attitude ravirait un camerounais que je connais. rien ne le fais plus enrager qu’une femme qui lui tient tête (ou pire qui ose penser qu’il a tort !) LOL !

  • Ah, les voila qui se réveillent ! En fait, il suffisait qu’on parle d’elles …

  • Camile,

    C’est bien ce que tu dis là. Il en a de la chance Chéri-Pascal …

    Non, je me marre : en fait je ne suis pas (complètement) macho et je préfererai toujours une Madame du Chatelet, une Cosima Wagner ou une Colette à Paris Hilton, Britney Spears ou Victoria Beckam. Tiens, j’ai pas mis Ségolène dans ma liste …

  • Raph,

    Vous êtes végétal ? Comme ça tombe bien, j’adore les fleurs :)

    Pour l’histoire de l’hypoténuse, il va falloir que tu attendes un peu ; je suis à peine remis de mon effort inconsidéré pour la production de ce post, alors l’aborder sur un plan théologique, ça va pas se faire tout seul…

  • J’aime pas que Pascal en fait, j’aime aussi Descartes. parce qu’il a fait la guerre de TRente ans. et puis parce qu’il a écrit des pages bien, aussi.

    sans blagues, tu les préfères à Paris Hilton? t’es bien sûr?

    une page de pub perso aussi, allez donc lire chez moi le texte de Tschok, qui est singulièrement stimulant. la preuve que pour que le blog d’une fille soit bien, il faut qu’un homme y mette du sien. vous voyez, si vous voulez du machisme, je peux en faire aussi bien que vous!

  • Camille,

    Franchement, oui, je préfère Madame du Châtelet à Paris Hilton. Sans hésiter !

    Bon, il faut avouer que j’aime bien Voltaire, que son histoire avec la dame en question et Monsieur du Châtelet m’apparaît comme un bel exemple de roman érotico-philosophique et que je DETESTE les pouffs blondâsses siliconées aux mensurations barbiesques (je parle pas de Klaus) et qui n’ont rien d’autre à foutre que d’emmerder le peuple avec leurs histoires nulles à longuer de talk shows. (pfff, ça va mieux !)

    Non mais tu t’imagines une liaison amooouuureuse avec la Paris ? Un truc réduit à son QI et à la capacité de son compagnon à la mettre en valeur sur une couve de Gala … L’horrreur !

    J’arrive chez toi tout de suite.

  • Halio,
    je me doute bien que ça ne va pas se faire tout seul ou par l’opération du Saint Esprit (qui cependant est un coté du triangle rectangle de la Trinité).
    nous attendrons donc…

  • Halio,

    M’enfin ! Ma présence serait-elle un repoussoir d’esprits végétaux ???

  • Au contraire, Gai-lulu, au contraire. Et c’est bien ce que j’affirme : mes plates-bandes s’étant trouvées fortement dégarnies depuis ton retour, je me demandais si une relation de cause à effet ne pouvait être envisagée.

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