Réponse au carré

Pour ceux qui n’auraient pas suivi la discussion sur le sujet ni constaté de visu l’impressionant génie mathématique de Tschok, ceci est une réponse au paradoxe évoqué dans l’article « Carré-ment », publié le 24 avril.

1) Un peu d’histoire

Ce problème, connu sous le nom de « Paradoxe de Galilée », a tenu en alerte plusieurs générations de mathématiciens, de philosophes et de théologiens sur la question de l’infini.

La discussion n’a en fait jamais cessé depuis qu’Archimède, au troisième siècle avant J.C, tenta de compter les grains de sable sur les plages de Grèce. S’apercevant rapidement qu’il n’était pas au bout de ses peines, il en conclut (assez brillamment, mais avec une once de paresse intellectuelle dans la tête quand même) que la suite des nombres n’a pas de fin et peut donc être prolongée « ad infinitum ». Zénon fit un constat équivalent en exprimant son célèbre paradoxe du lièvre et de la tortue qui rend tout mouvement impossible dès lors que l’on constate que le lièvre et la tortue doivent, avant d’atteindre leur but, parcourir la moitié de la distance à parcourir, et avant cela, la moitié de la moitié, et ainsi de suite, « ad infinitum ».

A chaque fois que l’on essaye de compter sans fin, on butte sur le fait que l’infini ne peut être déterminé et qu’il n’existe pas « en soi ». Les grecs avaient en fait deux difficultés lorsqu’ils tentaient de concevoir l’infini : d’une part l’axiome d’Euclide, qui énonce que le tout doit être plus grand qu’une de ces parties, et d’autre part le fait qu’il ne pouvait pour eux exister plusieurs infinis, certains plus petits que d’autres.

L’axiome d’Euclide est en fait insuffisant pour décrire les états de l’infini dès lors que l’on considère que l’infini divisé par deux, ça donne l’infini, tout comme l’infini multiplié par 17 ou l’infini au carré (tiens, le carré…). On peut donc parfaitement concevoir des morceaux d’infinis de taille non finie ainsi que des morceaux d’infini infinis … et plus grands que d’autres…

Faisons une parenthèse avec l’hypoténuse du triangle rectangle que l’on sait depuis Pythagore plus grande que les côtés du triangle, dans un rapport au carré (tiens, encore lui …). Chaque point de l’hypoténuse peut être reporté en abscisse et ordonné sur chacun des côtés et l’on peut en conclure qu’il y a « autant » de points sur l’hypoténuse que sur l’un quelconque des côtés, et que l’hypoténuse est égale à chacun des côtés (et que les deux côtés sont égaux !!!). Ce qui est bien évidemment absurde si l’on ne considère pas qu’il existe un nombre infini de points sur l’hypoténuse.

C’est tout le génie de Tschok d’avoir senti ceci, lorsque, incompris par lui-même, il énonce dans son commentaire 57, « Si on prend une chaîne numérique où il y a des ronds et des carrés (des réels et des carrés), on peut, sur un segment de cette chaîne, décider qu’il y a plus de ronds que de carrés. Peut-être sur un segment. Mais à l’infini ? ».

Gai-Luron saurait sans aucun doute mieux que moi vous conter les merveilles de « l’infini potentiel » et de « l’infini en acte » chez Leibniz ou les notions de « vrais infinis » et de « faux infinis » décrits par Spinoza, notions qui n’ont d’ailleurs pas vraiment leur place dans l’objet de cette réponse. Je ne m’étendrais pas non plus sur tous les débats sur le sujet auxquels ont participé des savants et des philosophes tels qu’Epicure, Al Kindi, Avicenne ou bien Proclus.

C’est chez un mathématicien moderne, répondant au doux nom de Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781-1848), que je trouve une partie de la réponse qui m’intéresse ici : Pour Bolzano, un infiniment grand est tout simplement ce qui est plus grand qu’un nombre quelconque d’unités. Mieux, du point de vue de l’hypoténuse dont nous parlions plus haut, hypoténuse et côtés représentent deux manifestations du MÊME infini et ce que certains considèrent comme un paradoxe est en fait, pour Bolzano, la définition même de l’infini (1).

Le mathématicien allemand Georg Cantor (1845-1918) viendra résoudre une partie des questions que soulevait l’approche de Bolzano (dont je vous ferai grâce) et compléter le dispositif de réflexion sur le sujet en démontrant que l’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable et que l’ensemble des points d’un carré est « équipotent » à l’ensemble des points de ses côtés.

2) La réponse

La réponse (partielle) au paradoxe de Galilée est que le nombre des carrés et le nombre des réels sont tout les deux infinis. Dans les deux cas, les infinis en question ne sont pas « dénombrables » et l’on peut en déduire qu’ils sont « potentiellement » égaux.

Pour plagier George Orwell, donc : « Tous les infinis sont égaux, mais il y en a de plus égaux que d’autres » (2). C’est là que réside le paradoxe.

(1) B. Bolzano : Les paradoxes de l’infini – Seuil 1993
(2) G. Orwell : La ferme des animaux – Gallimard 1984

64 Réponses à “Réponse au carré”


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  • Halio,
    j’vais te dire : chez toi ou en cybercafé ou ailleurs, il faut quand même qu’elle se déplace !
    et puis pour Titelilia, un des pétales les plus éclatants, tu pourrais faire un effort !
    là franchement, je suis déçue…

  • Raph,

    Je fais quoi, moi, maintenant pour revenir dans tes faveurs ?

  • Halio,
    si je te le dis, c’est pas drôle ! et puis ce serait un peu trop simple aussi… et puis, je suis sure que tu va trouver tout seul !
    pour l’instant, tu vois, je ne boycotte pas encore ton blog… ça devrait te laisser un espoir de sortir de cette disgrâce, non ?

  • Salut,

    Bon allez, mettons fin au suspens.

    Deja ce que l’on sait, c’est que nous partons de l’ensemble ferme [0, 1] a l’ensemble ouvert des reels, R. La fonction bijective ne peut donc pas etre continue.
    Ce que nous savons aussi, c’est qu’il est facile de trouver un bijection entre ]0, 1[ et R, par exemple en utilisant la fonction artanh.

    Le probleme se resume donc a trouver une bijection entre [0, 1] et ]0, 1[.

    Pour se faire, imaginons la fonction doit forcement etre non-continue. Imaginons f tel que (c’est un cas particulier parmis une infinite):
    f(x) = x/4 si x est egale a 2 puissance N, N entier naturel relatif.
    f(0) = 1/2
    f(x) = x si x n’est ni 0 ni une puissance de 2.

    Nous avons alors une bijection entre [0, 1] et ]0, 1[.

    Et voila le travail ! On vient de montrer que [0, 1] et R sont equivalents, et donc que n’importe quel sous ensemble de R est equivalent a l’ensemble R. Etonnant non ?

  • La beauté des maths m’étonnera toujours.

    C’est marrant d’ailleurs, en lisant ça je me dis que je ne suis pas matheux mais que je suis capable de rester béat devant une fonction un peu rigolote pendant des heures, que je suis athée mais que je lis les textes sacrés avec un appétit d’ogre venant de traverser le désert de Gobbi et qu’il m’arrive même d’écouter Ségolène avec une certaine curiosité.

    Ça se soigne docteur ?

  • non, Halio, on en vit ou on en reste idiot.
    pour ma part, je n’ai rien compris à la démonstration mathématique mais je l’aime bien quand même…

  • Raph,

    Dis-toi que c’est comme un poème. On n’a pas besoin de tout comprendre pour qu’il soit vraiment beau.

    En fait, celui-là n’est pas trop difficile, mais il fallait quand même le trouver. Moi, j’ai pas pu …

  • Halio,
    entre ‘tout comprendre’ et ‘rien comprendre’, y’a un gouffre ! mais je suis d’accord avec toi au sujet des poèmes.

  • Oui,

    moi aussi je suis capable de rester béat devant une fonction mathématique pendant des heures, mais pour d’autres raisons…

    Rien à voir avec la poésie.

    Mais plutôt avec le gouffre dont parlais Raph.

  • Tschok,
    ne perdons pas de vue que sur l’énigme d’Halio, vous vous en êtes sorti et moi non. donc il dois y avoir chez vous un pont pour passer au dessus du gouffre…

  • Raph,

    C’est moi le gouffre ?

  • non, Halio, le gouffre c’est l’énigme + le manque de connaissances en maths.

  • Finalement, c’est assez moi ça : une énigme et le manque de connaissance (relatif) en maths… :)

  • Halio,
    oui, oui, une énigme relative (comme chaque être humain, encore une question d’infini et de finitude ça !). pour tes connaissances en maths, il ne m’appartient pas d’en juger !

  • En fait, je préférerais que ce soit toi qui juge de mes connaissances en maths. Au bac, ça m’aurait peu-être évité un 2/20 d’anthologie. Ma mention bien, je l’ai eu grâce à l’anglais et à la philo (18/20 quand même !)

  • tu sais, je suis très sceptique sur la qualité des notes au bac ayant eu 10 en maths alors que je n’ai même pas fait la moitié du sujet. je les soupçonne d’avoir noté sur 30 et de n’avoir pas ramené les notes sur 20 ensuite… honteux quoi !

  • C’est vrai qu’autrefois, on ne donnait pas le bac à n’importe qui…
    Autrefois, c’est-à-dire en 1972. T’étais même pas née que je passais le bac. Putain, fait chier !

  • je comprends : ça te fais chier de devoir avouer que tu as trouvé le secret de l’éternelle jeunesse ! ok, je ferai comme si tu ne t’étais pas trahi et je ne te demanderai pas comment on fait… après tout les secrets innocents ont du charme, tu ne trouves pas ?

  • Oh que si !
    Mais es-tu innocente ?

  • je disais que le secret de l’éternelle jeunesse est un secret innocent. mais je ne pense pas être un secret donc inutile de me demander si je suis innocente !

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